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【2h】

From a monotone probabilistic scheme to a probabilistic max-plus algorithm for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations

机译：从单调概率方案到概率max-plus   求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的算法

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摘要

In a previous work, we introduced a lower complexity probabilistic max-plusnumerical method for solving fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equationsassociated to diffusion control problems involving a finite set-valued (orswitching) control and possibly a continuum-valued control. This method wasbased on the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise andHan (2011) and on the numerical probabilistic method proposed by Fahim, Touziand Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partialdifferential equations. A difficulty of the latter algorithm is in the criticalconstraints imposed on the Hamiltonian to ensure the monotonicity of thescheme, hence the convergence of the algorithm. Here, we propose a new"probabilistic scheme" which is monotone under rather weak assumptions,including the case of strongly elliptic PDE with bounded derivatives. Thisallows us to apply our probabilistic max-plus method in more generalsituations. We illustrate this on the evaluation of the superhedging price ofan option under uncertain correlation model with several underlying stocks, andconsider in particular the case of 5 stocks leading to a PDE in dimension 5.
机译：在先前的工作中，我们引入了一种较低复杂度的概率最大加数值方法，用于求解与扩散控制问题相关的完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该扩散控制问题涉及有限的设定值（或切换）控制，可能还包括连续值控制。该方法基于McEneaney，Kaise和Han（2011）获得的幂等展开性质，以及Fahim，Touziand Warin（2011）提出的求解某些完全非线性抛物型偏微分方程的数值概率方法。后一种算法的困难在于施加在哈密顿量上的关键约束，以确保该方案的单调性，因此该算法具有收敛性。在此，我们提出了一种新的“概率方案”，该方案在相当弱的假设下是单调的，包括带有限制导数的强椭圆PDE的情况。这使我们可以将概率最大加法应用到更一般的情况。我们在不确定的相关模型下对具有几只基础股票的期权的对冲价格的评估中对此进行了说明，特别是考虑到5只股票导致第5维PDE的情况。

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